高次埃尔米特插值示例¶

Ⅰ. 前言 –> Ⅱ. 示例

Ⅰ. 前言¶

涉及到牛顿插值均差系数，建议先阅读：

牛顿插值

Ⅱ. 示例¶

计算已知点列和条件构成的插值多项式：

点列：

$\bm{\vec{x}}=(-1,\ 0,\ 1)\ \ \ \ \bm{\vec{y}}=(0,\ -4,\ -2)$

条件：

$\begin{align} \begin{cases} \bm{\vec{y'}}=({\rm Unknown},\ 0,\ 5) \\ \bm{\vec{y''}}=({\rm Unknown},\ 6,\ {\rm Unknown}) \end{cases} \notag \end{align}$

在 $x_1=0$ 处出现了一阶导数 $0$ 和二阶导数 $6$ ，共计 2 次，在 $x_2=1$ 处出现一阶导数 $5$ ，共计 1 次.

所以构造如下均差表：

x	y	一阶差商	二阶差商	三阶差商	四阶差商	五阶差商
-1	0
0	$-4$	(-4-0)/[0-(-1)]= -4
0	-4	[-4-(-4)]/[(0-0) $\times1!$ ]= $y_1'\div1!$ =0	[0-(-4)]/[0-(-1)]= 4
0	-4	[-4-(-4)]/[(0-0) $\times1!$ ]= $y_1'\div1!$ =0	(0-0)/[(0-0) $\times2!$ ]= $y_1''\div2!$ =3	(3-4)/[0-(-1)]= -1
1	$-2$	[-2-(-4)]/(1-0)=2	(2-0)/(1-0)=2	(2-3)/(1-0)=-1	[-1-(-1)]/[1-(-1)]= 0
1	-2	[-2-(-2)]/[(1-1) $\times1!$ ]= $y_2'\div1!$ =5	(5-2)/(1-0)=3	(3-2)/(1-0)=1	[1-(-1)]/(1-0)=2	(2-0)/[1-(-1)]= 1