龙格现象

Ⅰ. 背景 –> Ⅱ. 示例 –> Ⅲ. Python 代码

Ⅰ. 背景

对于某些本源函数，一般情况，如果已知的数据点列越多，构造出的插值多项式阶数越高，预测的函数值相对也会越准确. 但在插值区间的边缘，误差可能会超乎人类想象. 边缘剧烈的震荡带来的巨大的误差，数学家们称之为 Runge Phenomenon，龙格现象.

Ⅱ. 示例

以拉格朗日插值多项式为例，本源函数选取“龙格函数”，观察如下 .gif 动画结果：

观察到，随着拉格朗日插值多项式阶数的增高，插值区间边缘的函数值跳动剧烈，并且这种震荡不断的现象似乎有着向原点逼近的趋势.

这种用高阶多项式插值带来的边缘函数值剧烈震荡（Oscillate violently），最先由德国数学家 Carl Runge 发现，因此，翻译为“龙格现象”.

Ⅲ. Python 代码

Runge.py 代码调用的 LAGRANGE 自定义类见：

拉格朗日插值

Runge.py

import matplotlib.pyplot as plt
from Lagrange import LAGRANGE

def Chart() -> None:
    plt.ion()
    for order in range(2, 50+2, 1):
        plt.cla()
        plt.axis([-2.5, 2.5, -3, 3])

        X = np.linspace(-1, 1, 300)
        Y = list(
            map(lambda x: 1 / (1 + 25 * (x * x)), X)
        )
        plt.plot(X, Y, 'r-.')
        del X
        del Y

        X = np.linspace(-1, 1, order)
        Y = list(
            map(lambda x: 1 / (1 + 25 * (x * x)), X)
        )
        obj = LAGRANGE(X=X.tolist(), Y=Y)
        del X
        del Y

        X = np.linspace(-1, 1, 500)
        prediction = []
        for i in range(0, len(X), 1):
            prediction.append(obj.Interpolate(X[i]))
        plt.plot(X, prediction, 'b-', linewidth=0.5)
        del X

        plt.title(f'The Order of Lagrange Interpolation: {order-1}')
        plt.legend(['Runge', 'Lagrange'])
        plt.pause(0.2)
    plt.ioff()
    plt.show()


Chart()